Nel 2016, a tredici anni, è diventata la più giovane vincitrice dei campionati assoluti danesi, battendo il record di Caroline Wozniacki, quattordicenne all'epoca. A livello juniores ha conquistato la vetta del ranking ITF e vinto sette titoli in singolare, e l'Australian Open juniores del 2019. Nel 2017 ha anche trionfato al Festival olimpico della gioventù europea.
In Fed Cup ha disputato 10 incontri, con un bilancio di 5 vittorie e altrettante sconfitte.
È stata allenata da Olivier Jeunehomme e Carlos Martinez. Attualmente è seguita da Lars Christensen.[1][2]
2021 - primi titoli WTA e top-50
A livello WTA, nel 2021 vince due titoli 250, oltre al WTA 125K di Chicago: il primo trionfo della carriera nel circuito maggiore arriva in marzo a Lione, dove, partendo dalle qualificazioni, ha vinto il trofeo battendo in finale Golubic per 6–4, 6–1. In settembre, vince il secondo titolo WTA 250 in quel di Lussemburgo, sconfiggendo la finalista olimpica in carica Vondroušová in semifinale e la ex campionessa del Roland Garros Jeļena Ostapenko nell'ultimo atto, con il punteggio di 6–3, 4–6, 6–4. Grazie all'ottima stagione disputata, la danese è salita nella top-100 del ranking, posizionandosi ai piedi della top-50 (n°52). A fine ottobre raggiunge la terza finale dell'anno in quel di Courmayeur, vincendo su Li nei quarti e rimontando la n°3 del seeding Samsonova in semifinale. Nell'ultimo atto trova la croata Donna Vekić: da cui Tauson perde la sua prima finale WTA in carriera.
A livello slam, Clara ottiene il secondo turno al Roland Garros e allo US Open, mentre a Wimbledon si è fermata al primo.
Termina l'anno al n°44 della classifica mondiale.
2022 - best ranking
Comincia l'anno al Melbourne Summer Set II, dove raggiunge i quarti battendo Kalinina e Zhu; è poi costretta al ritiro contro Sasnovič (sul 3–6, 0–2). All'Australian Open, la danese raggiunge il suo primo terzo turno della carriera in uno Slam, sconfiggendo Astra Sharma e poi la n°7 del mondo Anett Kontaveit per 6–2, 6–4, collezionando la sua prima vittoria su una top-10. La sua avventura termina ai sedicesimi, battuta dalla futura finalista Danielle Collins. A Dubai non passa le qualificazioni, fermandosi al secondo turno contro Jastrems'ka. Il 7 febbraio, la danese coglie il suo best ranking piazzandosi 33º nelle classifiche mondiali. A Doha, elimina la campionessa olimpica Belinda Bencic.